Examens de fin d’année
Par Larbi le jeudi, décembre 17 2009, 23:17 - Lien permanent
Aujourd’hui mathématiques
Les premières questions sont faciles. Le reste c’est selon. Je ramasse les copies la semaine prochaine.
Un Monsieur assez riche possède un terrain assez vaste, et il veut faire don à un paysan une partie de ce terrain, mais à une condition, que le périmètre de la surface choisi soit fixe, disons qu’il lui donne un contour de longueur fixe L, avec lequel il va entourer son aire choisie.
1-au début, il lui demande de choisir une surface rectangulaire, là bien sûr le paysan va faire en sorte MAXIMISER la surface, alors, comment va-t-il choisir le rectangle ?
2-maintenant, toujours avec le même contour il lui demande de choisir cette fois une forme triangulaire, et bien sûr, le paysan va toujours essayer de MAXIMISER la surface de l’aire.(c’est le but de ce problème), comment va-t-il prendre son triangle ?(si le triangle est ABC, alors c’est quoi l’allure du triangle qui lui permet d’avoir la surface maximale sachant que AB + AC + BC = cte =L. ?
3-application numérique : qui a la meilleur surface ? Le rectangle ou le triangle? Choisit respectivement dans 1 et 2.
4-Même question pour un parallélogramme.
5-Pouvez-vous déduire quelle est la forme géométrique idéale pour que le paysan puisse avoir la surface maximale avec ce contour fixe ?
Supposons maintenant que le riche vient de se rendre compte qu’il existe encore beaucoup de paysan pauvres, et veut faire de tout son terrain un don pour beaucoup de ces paysans, chacun possèdera une aire égale en surface et en forme à celle de son voisin, mais avec une condition, la somme des tailles des contours avec lesquels ils vont entourer leurs terrains est fixée, et doit être minimale .
6-quelles forme prendront-ils comme model pour leurs terrains ?(penser aux abeilles, mais démonstration).
Commentaires
1- carré
2- équilatéral
3- carré (1/16 > sqrt(3)/36)
4- carré, (un parrell. a l'air d'un rectangle de périmètre plus petit)
5- carré
6- je comprends pas la question, la somme des contours est fixé ou à minimaliser ?
Idem que le voisin lidiot
histoire de ne pas rendre la copie vierge
@lidiot: faut expliquer les réponses. par exemple "question 1: la paysan maximisera la surface s’il choisi un carré de L/2 de côté ".
la question 6 est indépendant des premières la somme des contours n'est pas fixée.
@lemythe: faut arrêter de copier sur son voisin . prochaine fois expulsion.
Le carré de côté L/4 maximise la surface.
Ce n'est pas aussi simple que ça en a l'air, quand il s'agit de fournir une démonstration.
1)Si a et b son respectivement la longueur et la largeur du rectangle, on a ab <= (a+b)²/4 avec égalité si et seulement si a=b. On obtient alors un carré de côté L/4.
2)C'est déjà plus difficile. D'après la formule d'Héron Aire = racine((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)/8) (a, b et c étant les côtés du triangle)
Or (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) <= abc avec égalité si et seulement si a=b=c. Ce qui nous donne un triangle équilatéral de côté L/3
3)Le carré. Calcul tout bête.
4)L'aire d'un parallélogramme est égale à l'aire du rectangle dont la longueur est l'un des côtés du paralléogramme et dont la largeur est la hauteur correspondante au côté. On se ramène à la question 1. Carré donc.
5)Carré. On connait les aires maximales respectives du triangle, et du rectangle/parallélogramme.
6) Comment le périmètre peut-il être fixé ET à minimaliser? Est-ce que la surface est fixée?
Tu fais du réchauffé en ce moment?
http://www.larbi.org/post/2005/01/3...
- laseine bonne réponse pour la question 1 . mais c'est juste 1/6
- bravo à Zeone pour avoir donné presque la totalité des bonne réponses avec démonstration en plus. chapeau! pour la question 6: je vais me renseigner si j'arrive à trouver la personne qui m'avait posé cette colle y a 4 ans déja.
- Marouane : et je suppose que t'asessayé de googler l'énoncé pour voir s'il y a les bonnes réponses sur le net
Larbi, c'est la moindre des choses voyons !
Quelques précisions avant de répondre :
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La terre n'est pas plate!! pire, sa forme n'est pas mathématique
donc, considérant que le terrain du monsieur est assez petit pour qu'on puisse travailler avec de la géométrie euclidienne, autrement je ne vois pas de solution aux problèmes posés
Question 1 : CARREE
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Il s'agit donc de solutionner le système d'équations suivantes :
(1) a+b = L/2 moitié du contour (constante)
(2) a*b = S superficie (est maximum)
S = a*b
= a*(L/2-a) en remplaçant la valeur de a
S = aL/2 - a²
Pour trouver l'optimum de cette fonction (maximum ou minium) on procède à la dérivée
S' = L/2 + 2a
S est optimum lorsque S' = 0
Ce qui implique que a = L/4
Ce qui correspond à une forme carrée
NB : L'optimum de S ainsi calculé correspond au maximum (et non pas au minimum) car la courbe de S est convexe
La dérivée deuxième S" = 2 est positive
Question 2 : TRIANGLE ÉQUILATÉRAL
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a + b + c = L (constante)
a*h/2 = S
formule de Héron :
S = SQR (L/2.(L/2-a).(L/2-b).(L/2-c)) SQR = racine carrée
Donc pour chercher un optimum pour S, il suffi de trouver l'optimum de
u = (p-a)(p-b)(p-c) avec p = L/2 = constante
C'est fonction à trois variable, on cherche donc l'optimum par dérivées partielles
D'abord :
2p = a + b + c
c = 2p - a - b
On remplace c par sa valeur :
u = (p-a)(p-b)(a+b-p)
du/da = (p-b)(2p-2a-b)
du/da s'annule en deux cas :
(1) p = b ce qui correspond à un triangle plat => S=0 valeur minimale
(2) 2p = L = 2a + b
si on fait rotation des cotés du triangle on aura aussi :
L = 2a +c = 2b + a = 2b + c = etc...
On retient par exemple :
2a + b = 2b + a => a = b
de même on trouve b = c et c = a
Notre superficie est maximale si a = b = c = L/3
Question 3 : CARREE
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Carrée : Sc = (L/4)² = L²/16
Triangle : St = SQR(L/2.(L/2-L/3)(L/2-L/3)(L/2-L/3))
= L²/20,784609691.....
Bien évidemment Sc > St quelque soit L > 0
Question 4 : CARRE
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Pour un parallélogramme
S = ab.sin(alpha) avec alpha le plus petit angle interne
Pour que S soit maximale sin(alpha) (qui est toujours inscrit entre 1 et -1) doit être maximale, donc égale à 1
donc alpha = pi/2 = 90° ce qui signifie que le parallélogramme doit être rectangle
ET en appliquant la démonstration de la question 1 on en conclu que la forme doit être carrée (eh oui un carrée est un parallélomachin)
NB: on peut aussi utiliser les dérivées partielles, mais je voulais changer un peu
Question 5 : POLYGONE RÉGULIER AVEC COTES TRÈS NOMBREUX ou carrément CERCLE
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Non on ne peut rien déduire!
les résultats des questions prétendantes ne permette que donner une petite idées
Mais en appliquant le théorème d'isopérimétre (dont la démonstration tellement facile que je n'ai pas trouvé utile de la détailler)
On déduit que pour qu'un polygone aie la plus grande surface :
(1) il doit être régulier
(2) il doit avoir le plus de cotés possible
Donc si l'on pousse le choses à l'extrême, la forme à choisir est celle du Cercle dont la superficie
S = r²*PI = L²/4PI bien supérieure à celle du carrée
Question 6 :
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Quelle est la forme initiale du terrain?
Quel est le nombre de pauvres gars?
@Simpldespry : Pour la question 5, je pense qu'il sous-entend "quelle forme géométrique parmi les précédentes", non?
Sinon, je ne connais pas ton théorème. Je serais bien intéressé par une démo vu qu'il est tellement simple.
Des démonstrations ?
1- on cherche a,b qui minimise air(a,b) avec la contrainte a+b = L = cst
- si a<=b alors par symétrie a>=b donc a=b
2- on cherche a,b,c qui minimise air(a,b,c) avec la contrainte a+b+c = L = cst
- si a<=b alors par symétrie a>=b donc a=b
- si c=< a=b par symetrie b=< a=c
dc a=b=c
3- carre L^2 /16 > 1/2*L/3*L/3*sqrt(3)/2
4- carré, car un parrell. a l'air d'un rectangle de périmètre plus petit (ca suffit comme argument)
5- carre d'après ce qui précède
What the hell...
Je reprend..
@ Zeone
Le théorème isopérimétrique est un résultat facile à concevoir voire intuitif, (il suffit d'observer la nature autour de nous, elle aime l'isopérimétrie).. mais dont la démonstration rigoureuse est assez difficile. Il suffit de constater le mal qu'il nous a fallut pour démonter un ou deux cas particulier!!!
Ce résultat était connu depuis le temps des Grecs, probablement d'une façon empirique, mais ne fut démontré mathématiquement que récemment
Je reviens à la question 6
Naturellement, si l'on veut minimiser les contours tout en maximisant les superficies, il est logique d'utiliser des cercles. Cependant, les cercles ne s'"emboitent" pas parfaitement et laisse des ilots entre aux. Donc je suppose que notre richissime gentleman est du genre homos-economicus et qu'il déteste le gaspillage, on doit donc réfléchir à faire trouver une solution qui rallie à la fois :
(1) minimum de contour
(2) maximum de superficie
(3) même forme géométrique et même superficie pour tout le monde
(4) pas de gaspillage
D'après ce qui précède, notre solution est à trouver dans les polygones réguliers :
Commençant par une forme triangle : c'est bien mais pas assez performant
Le carrée : oui mais on peut faire mieux
Le pentagone : meilleur que le carrée mais il y 'aura des pertes
l'hexagone : encore mieux et ça s'emboite parfaitement!
car l'angle de l'hexagone est égale à 60°, de cette façon, 3 hexagones contigus s'assemblent sans laisser de vide entre eux (ruche d'abeilles)
Pas la peine de chercher plus car toutes les autres formes de polygones réguliers supérieure à l'hexagone ne seront pas adéquates car ne respectant pas la condition (4)
Il m'est venu une idée qu'il serait possible de démontrer le théorème isopérimétrique par récurrence, y a-t-il un mathématicien dans la salle?
@Zeone, Simpldespry et lidiot,
Je vais acheter une ferme prochainement (printemps 2010) quelque part dans la région de Doukkala-Abda et j'aurais besoin de votre aide vu-que je ne veux pas être arnaquée quant à la superficie du terrain. Je vous paierais 200 dh de l’heure – (sans marchandage). Repas et transport en sus. Merci de mon contacter à « lidiotversusintelligente@hotmail.com ».
@Zeone, Simpldespry et lidiot: je passerais vos copies à un ami mathématicien pour départager. Mais apparemment vous êtes doués en la matière (maintneant je comprends pourquoi j'ai des visiteurs de polytechnique et autres ENS Cachan) Barvo en tout cas. 3tayt 7marri
C'est pas bien de divulguer les données des IP de tes visiteurs ba Larbi
ça tombe bien y a des mathématicien a coté
j' ai un problème au travail disant que je veut résoudre et que la pratique n appuie pas la théorie:
une bobine de papier enroulé , le papier n' est pas élastique , comment savoir la longueur du film papier qu'elle contient
j'ai par intuition fait : (rayon de la bobine*rayon de la bobine*pi)/l'épaisseur du film papier
la résultat comparé a la pratique donne une erreur de 20% j'ai cru que c'est parce que l'épaisseur du film est trop petite ce qui provoque une mesure non précise mais avec le meilleur instrument de mesure c est variable et atteint au max 80% de précision
peut être je trouverais un meth-physicien qui pourra m'aider
Pythagore,Archimède ou Newton ne sont pas du tout marocains, ils ne l'étaient jamais.Rappelons qu'un certain Philippe Brachet,économiste français, à écrit et publié en 1984 un livre intitulé "Descartes n'est pas marocain" pour dénoncer la pourriture publique au Maroc et le sous développement de ce pauvre pays.A Maroc ça sert à quoi les maths qui sont de la rationalité et du rationalisme?ça sert à rien,on n'en a pas besoin, on n'a besoin ici que des arithmétiques comme calculs au sens négatif du terme pour se servir de l'escroquerie privée ou publique.On rêve de devenir comptable pour falsifier des nombres et pas mathématicien pour créer une méthode ou un théorème!On lâche la vertu des maths pour le vice des mini-calculs, c'est pour ça que Descartes, Pythagore,Archimède ou Newton ne sont pas du tout marocains!